Можно ли из трех нечетных чисел получить четное

Четность и нечетность. Задачи на четность для математического кружка

Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма «продвинутых»). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.

Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько «олимпиадных» заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.

Четные и нечетные числа. Начальные сведения

В данной статье мы будем рассматривать главным образом натуральные или целые числа. Напомню, что число называется четным, если оно делится нацело на 2. Иначе говоря, любое четное число n можно представить в виде n = 2k, где k — целое число, а любое нечетное — в виде n = 2k + 1 (или n = 2k — 1). Ноль, естественно, будем считать четным числом.

Пример 1

. Числа 34 и 171 представьте в виде 2k или 2k + 1, где k-целое число.

34 = 2 • 17 (34 — четное число); 171 = 2 • 85 + 1 (171 — нечетное число).

Задание 1. Числа 68, 133, -2246 и -8977 представьте в виде 2k или 2k+1, где k-целое число.

Задание 2. Представьте число 18 в виде: а) суммы двух четных чисел, б) суммы двух нечетных чисел. Можно ли получить 18 при сложении четного и нечетного чисел?

Задание 3. Представьте число 24 в виде: а) произведения двух четных чисел, б) произведения четного и нечетного чисел. Можно ли получить 24 при умножении двух нечетных чисел?

Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел

Утверждение 1. Сумма двух четных чисел — четное число.

Доказательство. Пусть числа m и n являются четными. Докажем, что число r = m + n также четно. m=2k, n=2p, где k и p — целые числа. Тогда r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s. Если числа k и p являются целыми, то их сумма s — тоже целое число. Мы доказали, что число r может быть представлено в виде произведения двойки и целого числа. Доказательство завершено.

Утверждение 2. Сумма двух нечетных чисел — четное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 3. Сумма четного и нечетного чисел — нечетное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 4

. Произведение двух нечетных чисел — нечетное число.

Доказательство. Пусть числа m и n являются нечетными. Докажем, что число r = m • n также нечетно.
m = 2k + 1, n = 2p + 1, где k и p — целые числа.
Тогда r = m • n = (2k+1) • (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1.

Если числа k и p являются целыми, то число s = 2kp + k + p — тоже целое число.
Мы доказали, что число r может быть представлено в виде r = 2s + 1, следовательно, является нечетным. Ч. т. д.

Утверждение 5. Произведение двух четных чисел — четное число. Докажите самостоятельно.

Утверждение 6. Произведение четного и нечетного чисел — четное число. Докажите самостоятельно.

А если мы поделим четное число на четное (не равное нулю)? Что получим: чет или нечет? Естественно, однозначного ответа дать нельзя. Например, при делении 12 на 4 мы получаем нечетный результат, а при делении 32 на 4 — четный.

Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи. Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.

А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!

Утверждение 7

. Сумма любого количества четных чисел четна.

Доказательство. Пусть числа M1, M2, …, MN являются четными, тогда их можно представить в виде 2K1, 2K2, … , 2KN, где K1, K2, …, KN — целые числа.

Тогда: M1 + M2 + … + MN = 2K1 + 2K2 + … + 2KN = 2( K1 + K2 + … + KN) = 2S, где S-целое число. Четность доказана.

Утверждение 8. Сумма четного количества нечетных чисел четна. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. Докажите самостоятельно.

Утверждение 9. Произведение может быть нечетным только в том случае, если все сомножители нечетны. Докажите самостоятельно.

Так, сумма 2+4+6+…+1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*…*1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.

Задание 4. Четными или нечетными будут следующие выражения: а) 2+12+22+…+1002+1012+1022, б) 1+11+111+…+111111+1111111, в) 3*13*23*…*10003*10013*10023, г) 2*3*4*…*12357891 ?

Задание 5. Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих 1000000, четно. Докажите, что произведение любого количества простых чисел, каждое из которых больше 100, нечетно. Напомню, что натуральное число называется простым, если делится только на себя и на 1.

И вновь о сумме и произведении

Пример 2. Юный математик Петя сложил сумму двух целых чисел и их произведение. Он утверждает, что у него получилось число 56792. Возможно ли такое, если известно, что хотя бы одно из исходных чисел нечетно?

Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:

  • A и В — четные числа (но этот случай в задаче не рассматривается),
  • A и B — нечетные числа,
  • A четно, а B нечетно,
  • A нечетно, B четно.

В принципе, два последних случая можно было бы безболезненно объединить, но для нас это сейчас несущественно. В предыдущем пункте мы выяснили все, что касается четности суммы и произведения. А теперь давайте составим таблицу. В первых двух колонках укажем четность чисел А и В, в 3-й колонке — четность суммы, в 4-й четность произведения, в 5-й — четность итогового числа.

ABA+BAB(A+B) + АВ
ЧЧЧЧЧ
ННЧНН
ЧННЧН
НЧНЧН

Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!

Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.

Задание 6. Юный математик Маша умножила произведение двух целых чисел на их сумму. Она утверждает, что получилось число 89999719. Права ли Маша?

Задание 7. Юный математик Петя утверждает, что при сложении двух целых чисел получил 927, а при умножении — 6321. Возможно ли такое? Объясните ваш ответ.

Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих «скучных» базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.

Продолжение статьи →

Источник

Четность чисел

·        
Четные числа — это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K,
подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

·        
Нечетные числа — это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 +
1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

Читайте также:  Можно ли получить диплом без паспорта

  • Сложение и вычитание:
    • Чётное ±
      Чётное = Чётное
    • Чётное ±
      Нечётное = Нечётное
    • Нечётное ±
      Чётное = Нечётное
    • Нечётное ±
      Нечётное = Чётное
  • Умножение:
    • Чётное ×
      Чётное = Чётное
    • Чётное ×
      Нечётное = Чётное
    • Нечётное ×
      Нечётное = Нечётное
  • Деление:
    • Чётное /
      Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число,
      то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Чётное /
      Нечётное -­— если результат целое число,
      то оно Чётное
    • Нечётное /
      Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Нечётное /
      Нечётное —если результат целое число,
      то оно Нечётное

  

       Сумма любого числа четных чисел –
четно.

          Сумма нечетного
числа нечетных чисел – нечетно.

          Сумма четного
числа нечетных чисел – четно.

          Разность двух
чисел имеет ту же четность, что и их сумма.
(напр. 2+3=5 и 2-3=-1 оба нечетные)

          Алгебраическая (со знаками + или -) сумма целых чисел имеет ту же четность, что и их сумма.
(напр. 2-7+(-4)-(-3)=-6 и 2+7+(-4)+(-3)=2 оба четны)

       
Идея
четности имеет много разных применений. Самые простые из них:

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов,
если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу
переходов между ними и наоборот !!!)

2′. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии — четное число, если исходное и конечное состояния совпадают — то нечетное.
(переформулировка п.2)

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3′. Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли
начальное состояние с конечным. (переформулировка п.3)

4. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой
предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

(!) Все эти соображения можно на олимпиаде
вставлять в текст решения задачи, как очевидные утверждения.

Примеры:

Задача 1. На плоскости
расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей … 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы
они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в
каком именно направлении вращается первая шестеренка !) Тогда  всего должно быть
четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак «?!» обозначает получение противоречия)

Задача 2. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы
получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. Четность
полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1+2+…+10=55, т.е. сумма всегда будет нечетной. А 0
— четное число?! ч.т.д.

Источник

Готовимся к олимпиаде. Задачи на ЧЁТНОСТЬ.

Известно, что целые числа могут быть чётные и нечётные. Чётные числа можно записать в виде 2k, где k – целые числа, а нечётные – в виде 2k + 1.

Легко доказать или показать на примерах следующие свойства чётности для целых чисел:

Задача 1.

Кузнецу заказали выковать десять мечей. Каждый меч может стоить 3, 5 или 7 златников. Могут ли они стоить вместе 53 златника?

Решение.

Сумма чётного количества нечётных чисел чётна. У нас есть 10 мечей, цена каждого меча – нечётное число, значит, их сумма должна быть чётна. Но 53 – число нечётное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечётных чисел нельзя.

Ответ: нет.

Задача 2.

Можно ли 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено напрямую ровно с тремя другими?

Решение.

Если мы рассматриваем объекты типа верёвки – провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т.д., то при любом количестве объектов число концов должно быть чётным. Предположим, что мы соединили между собой 7 селений попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими. Подсчитаем количество концов дорог, соединяющих эти селения. Понятно, что их число должно быть чётным. От каждого из 7 селений отходит 3 конца дорог, всего 7 ∙ 3 = 21 конец, число нечётное. Значит, нельзя 7 селений соединить между собой попарно так, чтобы каждое было соединено ровно с тремя другими.

Ответ: нет.

Задача 3.

13 команд мечников участвуют в королевском однокруговом турнире. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая чётное число встреч. (Однокруговой турнир – когда каждая команда играет с каждой ровно один раз).

Решение.

Подсчитаем, сколько встреч провела каждая команда, и просуммируем полученные числа. В общей сумме каждая игра учитывается два раза. Если же подсчитать сумму игр 13 команд, сыгравших по нечётному числу встреч, результат будет нечётный. Чтобы общая сумма игр получилась чётной, хотя бы одна команда должна сыграть чётное число встреч.

Задача 4.

В секции фехтования мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары?

Решение.

Пусть количество девочек х, тогда мальчиков 14х, всего 15х. Но 15х < 20, значит, х = 1. Мальчиков 14, девочек – 1, всего 15 человек. Но 15 человек нельзя разбить на пары.

Ответ: нет.

Инвариант – термин, обозначающий нечто неизменяемое. Разберём несколько задач, где не меняется чётность некоторой величины.

Задача 5.

Казначей положил на стол 6 монет, одну из них вверх орлом, другие – решкой. Можно ли все монеты положить вверх орлом, если разрешено одновременно переворачивать две монеты?

Решение.

При переворачивании двух монет одновременно четность числа монет, лежащих орлом вверх, не меняется. Докажем это.

Если перевернуть две монеты вверх орлом, то они станут вверх решкой (ОО → РР). Орлов стало на два меньше, а решек – на два больше, чётность не изменится.

Читайте также:  Можно ли получить права в другом городе если нет прописки

Если перевернуть две монеты вверх решкой, то они станут вверх орлом (РР → ОО). Орлов стало на два больше, а решек – на два меньше, чётность не изменится.

Если перевернуть одну монету вверх орлом, а другую – вверх решкой (ОР → РО), количество орлов, как и количество решек, останется прежним. Чётность не изменится.

В любом случае чётность числа монет, лежащих вверх орлом, не изменится. Если сначала вверх орлом лежала одна монета (а 1 – число нечётное), значит, при любой манипуляции количество таких монет может быть только нечётным, и соответственно, все 6 монет положить вверх орлом не удастся.

Ответ: нет.

Задача 6.

Можно ли в таблице 5 х 5 расставить 25 натуральных чисел так, чтобы во всех строках суммы были чётные, а во всех столбцах – нечётные?

Решение.

Пусть в каждой строке суммы чисел чётные, а в каждом столбце — нечётные.

Сложим все полученные суммы по столбцам: 25 нечётных сумм вместе дают нечётное число.

Но сумма чисел во всех строках (в нашем примере чётное число) должна быть равна сумме чисел во всех столбцах (в нашем примере нечётное число), что невыполнимо в нашем примере.

Ответ: нет.

Задача 7.

В таблице 6 х 6 за один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли таким образом из таблицы, приведённой:

Решение.

а) Рассмотрим. Как меняется количество минусов за один ход. Допустим, мы меняем знаки в строчке. Заметим, что при этом количество минусов в других строчках остается неизменным. Если в изменяемой строчке было чётное количество минусов, то было и чётное количество плюсов, и после смены знаков чётность общего числа минусов в таблице не изменится.

Если там было нечётное количество минусов, то было и нечётное количество плюсов, и после смены знаков чётность общего числа минусов в таблице тоже не изменится.

Аналогично для столбца. Значит, если вначале было 17 минусов (нечётное число), то получить таблицу из 36 минусов (чётное число) нельзя, так как минусов всегда будет нечётное количество.

б) во второй таблице число минусов чётное, но получить нужную таблицу все равно нельзя.

Рассмотрим квадрат 2 х 2 в правом верхнем углу таблицы. Количество минусов в этом отдельно взятом кусочке меняется по тем же правилам, что и во всей таблице, причём чётность количества минусов в этой табличке 2 х 2 тоже не меняется – остаётся нечётной. Значит, даже в этом кусочке нельзя получить все 4 минуса, т.е. будет присутствовать хотя бы один плюс.

Ответ: а) нет; б) нет.

Задача 8.

На столе стоят 16 кубков, один из них вверх дном. Можно ли все кубки поставить правильно, если можно одновременно переворачивать по 4 кубка?

Решение.

Вначале правильно стоят 15 кубков (нечётное число), а вверх дном 1 кубок (нечётное число).

  1. Пусть мы переворачиваем все 4 кубка вверх дном. Тогда «нечёт» – 4 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

  2. Теперь переворачиваем 3 кубка вверх дном, а 1 кубок – становится правильно. Т.е. 3 кубка, стоящих правильно, будут теперь перевёрнуты, а тот кубок, который был изначально перевёрнут, будет тоже стоять правильно.

Тогда «нечёт» – 3 + 1 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

  1. Переворачиваем 2 кубка вверх дном и два кубка – станут стоять правильно. Тогда «нечёт» + 2 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

  2. Если перевернём 1 кубок вверх дном и 3 установим правильно, то получим опять «нечёт» – 1 + 3 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

  3. Если все 4 кубка установим правильно, то «нечёт» + 4 = «нечёт» число кубков будут стоять правильно.

Итак, чётность правильно стоящих кубков при переворачивании не меняется, то есть остаётся нечётным на любом шаге. Значит, установить все 16 кубков правильно невозможно.

Ответ: нет.

  1. ЧЁТНОСТЬ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЕЛ

Задача 9.

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017, 2018. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Решение.

Вычислим сначала сумму всех чисел, записанных на доске. Она равна:

1 + 2 + 3 + … + 2016 + 2017 + 2018 = (1 + 2018) + (2 + 2017) + … + (1008 + 1009) = [всего 1009 пар] = 2019 ∙ 1009 = нечётное число (так как произведение нечётных чисел равно нечётному числу).

Теперь посмотрим, как меняется эта сумма, если из неё взять два слагаемых и заменить их разностью этих чисел.

  1. Если оба числа чётные, то их сумма была чётной, и их разность тоже будет чётной. Сумма всех данных чисел уменьшится на чётное число, то есть

«нечёт» − «чёт» = «нечёт».

Чётность суммы всех данных чисел не изменится.

  1. Если оба числа нечётные, то их сумма была чётной, и их разность тоже будет чётной. Сумма всех данных чисел уменьшится на чётное число, то есть

«нечёт» − «чёт» = «нечёт».

Чётность суммы всех данных чисел не изменится.

  1. Если одно число чётное, а другое нечётное, то их сумма была нечётной, и их разность тоже будет нечётной. Чётность общей суммы всех данных чисел не изменится.

Значит, у нас могут получаться только нечётные суммы всех записанных чисел на любом шаге, а нуль – число чётное, и оно в конце на доске остаться не может.

Ответ: нет.

Задача 10.

На доске написаны числа 12, 22, 32, …, N2. Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма быть равной:

а) 12, если N = 12;

б) 0, если N = 70?

Решение.

а) Может.

Например: 12 – 22 – 32 + 42 + 52 – 62 – 72 + 82 + 92 – 102 – 112 + 122 = 12.

б) Докажем, что это невозможно.

Квадраты чётных чисел – чётные числа, а квадраты нечётных чисел – нечётные числа. Среди 70 последовательных чисел ровно половина – нечётные, то есть в данной алгебраической сумме 35 нечётных чисел и 35 чётных, значит, их сумма всегда нечётна, и, следовательно, не может быть равна 0.

Ответ: а) да; б) нет.

Задача 11.

На доске написаны последовательные натуральные числа от 1 до 2015. Разрешается за одну операцию стереть любые два числа и вместо них поставить их произведение. Какое наибольшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными? Какое наименьшее?

Решение.

Произведение двух нечётных чисел – нечётное, а произведение любого натурального числа на чётное – чётное. Посчитаем, какое наибольшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными.

Читайте также:  Можно ли получить шенгенскую визу без приглашения

Оставим на доске одно из нечётных чисел и не будем его трогать, пока есть другие числа. Тогда только после последней операции не останется нечётных чисел. Сколько же таких операций будет проведено?

За каждую операцию количество чисел уменьшается на одно (так как вместо двух чисел записывается одно). Значит, наибольшее возможное число операций 2015 – 1 = 2014.

Посчитаем, какое наименьшее число операций можно сделать, прежде чем все числа на доске станут чётными.

Каждой операцией мы можем убрать не более чем одно число, в том числе и нечётное.

Всего нечётных чисел на доске + 1 = 1007 + 1 = 1008. Значит, нужно хотя бы 1008 операций.

Как можно действовать, чтобы за 1008 операций все числа на доске стали чётными: каждым ходом умножать одно из оставшихся нечётных чисел на чётное, тогда вместо них будет появляться их чётное произведение, и ровно за 1008 операций все числа на доске станут чётными.

Ответ: 2014; 1008.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

    1. Запишите в строчку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была чётная, а сумма всех чисел была нечётная.

    2. Запишите в строчку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была нечётная, а сумма всех чисел была чётная.

    3. Можно ли записать в строчку шесть чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была чётная, а сумма всех чисел была нечётная?

    4. Богатырь за один удар ломает бревно на три меньших. Сможет ли он разбить одно большое бревно на 12 маленьких?

    5. В десяти коробках лежат мармеладки. В первой – 1, во второй – 2, в третьей – 3 и т.д., в десятой – 10. Саше за один ход разрешается в любые две коробки добавить по три мармеладки. Сможет ли Саша за несколько ходов уравнять количество мармеладок в коробках?

    6. Загаданы три целых числа a, b, c. Разрешается выбрать любые два из них и спросить: их произведение чётное или нечётное? Всегда ли с помощью таких вопросов можно узнать, чётно или нечётно число b?

    7. Загаданы три целых числа a, b, c. Разрешается выбрать любые два из них и спросить: их сумма чётная или нечётная? Всегда ли с помощью таких вопросов можно узнать, чётно или нечётно число b?

    8. Загаданы четыре целых числа a, b, c, d. Разрешается выбрать любые три из них и спросить: их сумма чётная или нечётная? Всегда ли с помощью таких вопросов можно узнать, чётно или нечётно число b?

    9. Учёный Кот посчитал сумму 1 + 3 + 5 + … + 999 и получил результат 247013. Какова чётность данной суммы? Верный ли ответ получил учёный Кот? Попробуйте выполнить сложение устно.

    10. Существует ли:

а) чётное число, сумма цифр которого нечётна?

б) чётное число, произведение цифр которого нечётно?

    1. Может ли сумма 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ М + 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ К, где М и К – натуральные числа, большие трёх, оканчиваться на 9?

    2. У оруженосца было 5 плиток шоколада. Может ли оруженосец, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

    3. В пещере разбойников в мешках, расставленных по кругу, лежат монеты, причём в любых двух соседних мешках число монет отличается на единицу. Могут ли быть расставлены таким образом:

а) 3;

б) 4;

в) 98;

г) 99 мешков?

    1. Лена и Маша играют в игру: каждая из них записывает на бумажке по одному натуральному числу. Потом эти числа перемножаются, и если в результате получится чётное число, то выигрывает Лена, а если нечётное, то Маша. Может ли одна из девочек всегда выигрывать, как бы ни играла другая?

    2. Можно ли в таблице 4 х 4 расставить натуральные числа таким образом, чтобы во всех строчках суммы оканчивались на 5, а во всех столбцах на 0? А в таблице 15 х 15?

    3. Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армрестлингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?

    4. На доске написаны восемь простых чисел, каждое из которых больше 2. Может ли их сумма равняться 59?

    5. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «−» так, чтобы значение полученного выражения было равно 2?

    6. Можно ли подобрать четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечётными числами?

    7. В десятичной записи числа 73 цифры, и все они единицы. делится ли это число на 18?

    8. В таблице 4 х 4 за один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли таким образом из таблиц, приведённых на рисунке, получить таблицу из одних плюсов?

    1. В ряд выписаны числа от 21 до 30. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно 0?

    2. На острове Серобур обитает 13 серых и 15 бурых хамелеонов. При встрече двух хамелеонов оба одновременно меняют свой цвет. Может ли оказаться, что все хамелеоны станут одного цвета?

    3. Чётное или нечётное число 1 + 2 + 3 + … + 1000? Найдите значение суммы.

    4. Кузнечик прыгает вдоль прямой на 2 м вправо или влево. Докажите, что он:

а) может вернуться в исходную точку только после чётного числа ходов;

б) никогда не попадёт в точку, находящуюся на расстоянии в 1 м от начальной.

    1. Все числа от 1 до 10 выписали в произвольном порядке. Затем каждое из них сложили с номером места, на котором оно находится в строке. Докажите, что по крайней мере у двух из полученных сумм совпадает последняя цифра.

    2. Может ли прямая пересечь все стороны 13-угольника ровно по одному разу (не проходя через вершины)?

    3. Катя и её друзья встали в круг. Оба соседа любого из детей – одного пола. Мальчиков 5. Сколько девочек?

    4. Могут ли попарные суммы трёх целых чисел оказаться равными 2006, 1998 и 2003?

    5. На доске написаны числа 12, 22, 32, …, N2. Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «−» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма быть равной:

а) 8, если N = 8;

б) 15, если N = 80?

    1. Из 20 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 35, 37, 39 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке убывания. Пусть М – четвёртое по величине среди выбранных чисел, а S – среднее арифметическое этих семи чисел.

а) Может ли S – M равняться ?

б) Может ли S – M равняться ?

Источник